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    課題研究
    對一道課本習題的進一步探究 (會宮中學:姚漢兵)
    對一道課本習題的進一步探究
    姚漢兵
    (安徽省樅陽縣會宮中學  
    現行普通高中課程標準實驗教科書(人教版)必修第頁有這樣一道習題:
    觀察以下各等式:



    分析上述各式的共同特點,寫出能反映一般規律的等式,并對等式的正確性作出證明.
    與其配套的教師教學用書給出的解答是:反映一般規律的等式是(表述形式不唯一):

    證明略.
    本題是開放型問題,反映一般規律的等式的表述形式還可以是:
             ;
             ;
             ,其中,等等.
    本文對此作進一步的探究,將題目中的三個等式改寫為:
                 ,
                 ,
                 .
    觀察它們的結構特征,不難得出如下的等式:
          .
    證明:
       
     
     
     
    .
    一道向量試題的變式
     芳
    (安徽省樅陽縣會宮中學 246740)
    試題: 是平面上一定點, 、、是平面上不共線的三點,動點滿足,,則動點的軌跡一定通過的(   ).
    .外心            .內心            .重心            .垂心
    (注:三角形的三條高線交于一點,此點稱為三角形的垂心)
    解析:由.易知、均是單位向量,則以、為鄰邊的平行四邊形是菱形,所以的方向為(為的平分線)的方向,又 ,所以的方向為的方向.故動點的軌跡一定通過的內心.選 .
    變式:若動點滿足,,則動點的軌跡一定通過的(   ).
    .外心            .內心            .重心            .垂心
    解析:由(為邊的中點)
    所以動點的軌跡一定通過的重心. 選 .
    變式:若動點滿足,則動點的軌跡一定通過的(   ).
    .外心            .內心            .重心            .垂心
    解析:由 .
    因為,所以 .故動點的軌跡一定通過的垂心. 選 .
    變式:若動點滿足,則動點的軌跡一定通過的(   ).
    .外心            .內心            .重心            .垂心
    解析:設為邊的中點,則 .
    .
    因為,所以 .故動點的軌跡一定通過的外心. 選 .
    變式:若動點滿足,則動點的軌跡一定通過的(   ).
    .外心            .內心            .重心            .垂心
    解析:由 .由正弦定理可知,所以(為邊的中點).故動點的軌跡一定通過的重心. 選 .
    一道高考填空題的引申
    李志勝
    (安徽省樅陽縣會宮中學 
    年全國II卷理科第題:
    已知、為圓:的兩條相互垂直的弦,垂足為,則四邊形的面積的最大值為_________.
    引申:過圓:內一定點(異于圓心)作相互垂直的弦、,則當弦長相等,即時,四邊形的面積取得最大值;
    當一弦為最長弦,另一弦為最短弦時,四邊形的面積取得最小值.
    證明,令(為常數且).作于,作于,則四邊形是矩形,設(為變量且),則,,.
    設四邊形的面積為,則
    .
    因為,所以
    當,即(弦長相等)時,四邊形的面積取得最大值為;
    當或,即一弦為最長弦,另一弦為最短弦時,四邊形的面積取得最大值為 .
    相應地,橢圓也具有類似的結論:
    過橢圓的焦點作兩條相互垂直的弦、,則
    當弦長相等,即時,四邊形的面積取得最大值;
    當一弦為最長弦(長軸),另一弦為最短弦(通徑)時,四邊形的面積取得最小值.
     
    一道高考題的引申
    付朝華
    (安徽省樅陽縣會宮中學 
    年山東卷理科第題:
    設橢圓:過,兩點,為坐標原點.
    (I)求橢圓的方程;
    (II)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點,,且?若存在,寫出該圓的方程,并求的取值范圍;若不存在,說明理由.
    I)橢圓的方程為 .
    (II)存在圓滿足題意,且.
    本文將對第(II)問進行如下引申
    已知橢圓:,設圓上任意點處的切線與橢圓恒有兩個交點,,且.則
    ⑴;
    ;
    ⑶;
    .
    證明:⑴易知.
    當直線的斜率存在時,令直線的方程為,①
    將其代入橢圓的方程并整理得, .
    設,,則, .
    因為,所以.③
    將①代入③并整理得,.
    聯立②得,.④
    因為直線和圓相切,因此,.
    由④得,,
    當切線的斜率不存在時,易得,由橢圓的方程得,,顯然.故 .
    ⑵因為,,
    所以 .
    .
    ⑶設,,則 .于是
    因為,所以.
    ⑷因為,
    所以
    相應地,雙曲線也具有類似的結論
    已知雙曲線:,設圓上任意點處的切線與橢圓恒有兩個交點,,且.則
    ⑴;⑵;
    ⑶;⑷ .
    對一道練習題的探究
    吳 斌
    (安徽省樅陽縣會宮中學 
    安徽教育出版社岀版的高二同步作業選修2-1上有這樣一道試題:
    已知橢圓方程是,P點是橢圓外一點,過點P作橢圓的兩條切線PA,PB, A,B為兩切點,且PA PB。求動點P的軌跡方程。
    解:設 ,,,則方程為: , 的方程為: ,又因為又過點 .故的方程又可寫為:  所以直線AB的方程為:①,又 ,,,整理得② . 又設直線AB為:  ③,將直線方程和橢圓方程聯立 ,消去y并整理得:,, .   代入②式并整理得:  ④ ,又因為①,③是同一個方程,則有:代入④式可得  ,當這兩條直線的一條斜率不存在時,另一條直線的斜率為0,同樣適合式.故點P的軌跡方程是 .它是一個圓心在原點,半徑為
    的圓.那么這個性質在雙曲線、拋物線中是否可以推廣?我們繼續探究.
    結論1、已知雙曲線方程是,P點是雙曲線外一點,過點P作的雙曲線兩條切線PA,PB, A,B為兩切點,且PA PB。動點P的軌跡仍然是一個圓。
    證明:設 ,,,則方程為: , 的方程為: ,又因為又過點 .
    的方程又可寫為:  所以直線AB的方程為:  ①又 ,,,整理得  ②,又設直線AB為:  ③,將直線方程和雙曲線方程聯立 ,消去y并整理得:,, .   
    代入②式并整理得:  ④ ,又因為①,③是同一個方程,則有:,。代入④式可得
    它是一個圓心在原點,半徑為的圓.
    結論2、己知拋物線方程為 , P點是拋物線外一點,過點P作的拋物線的兩條切線PA,PB, A,B為兩切點,且PA PB。動點P的軌跡為一條直線。
    證明:設 ,,,由題意可知:的方程分別為:,,又因為又過點 .故有的方程又可寫為:,  所以直線AB的方程為:  ①,因為 ,,,整理得  ②,又設直線AB為:  ③,將直線方程和拋物線方程聯立 ,消去x并整理得:,代入②式并整理得:  ④ ,又因為①,③是同一個方程,則有:代入④式可得:。故點P的軌跡方程是 .為拋物線的準線方程。
     
     
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